10x^2-21x+9 lösen

$$10 x ^ { 2 } - 21 x + 9$$

Faktorisieren

$$\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-21 ab=10\times 9=90$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 90 ergeben.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -21 ergibt.

$$a=-15 b=-6$$

10x^{2}-21x+9 als \left(10x^{2}-15x\right)+\left(-6x+9\right) umschreiben.

$$\left(10x^{2}-15x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10x^{2}-21x+9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

-21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-40\times 9}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-360}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 441 zu -360.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{81}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±9}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$x=\frac{21±9}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{21±9}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±9}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu 9.

$$x=\frac{30}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±9}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 21.

$$x=\frac{12}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} \frac{3}{5} ein.

$$10x^{2}-21x+9=10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10x^{2}-21x+9=10\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10x^{2}-21x+9=10\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{5x-3}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-3}{2} mit \frac{5x-3}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10x^{2}-21x+9=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$10x^{2}-21x+9=10\times \frac{\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10x^{2}-21x+9=\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-3\right)\left(5x-3\right)$$