10x^2-15x+2=0 lösen

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1,352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0,147920271$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch -15 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 225 zu -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

Dividieren Sie 15+\sqrt{145} durch 20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{145} von 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

Dividieren Sie 15-\sqrt{145} durch 20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-15}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie -\frac{1}{5} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$