10x^2+x=3 lösen

$$10 x ^ { 2 } + x = 3$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$10x^{2}+x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 10x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=10\left(-3\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-5 b=6$$

10x^{2}+x-3 als \left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right) umschreiben.

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 5x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10x^{2}+x=3$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$10x^{2}+x-3=3-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$10x^{2}+x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch 1 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 1 zu 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{-1±11}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±11}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 11.

$$x=\frac{10}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±11}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -1.

$$x=-\frac{12}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10x^{2}+x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}+x}{10}=\frac{3}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x=\frac{3}{10}$$

Dividieren Sie \frac{1}{10}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{20} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{20} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{20}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Addieren Sie \frac{3}{10} zu \frac{1}{400}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{20}=\frac{11}{20} x+\frac{1}{20}=-\frac{11}{20}$$

\frac{1}{20} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$