10x^2+7x-12=0 lösen

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 10x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-8 b=15$$

10x^{2}+7x-12 als \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right) umschreiben.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-4=0 und 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch 7 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 49 zu 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±23}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±23}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Dividieren Sie \frac{7}{10}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{20} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{20} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{20}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Addieren Sie \frac{6}{5} zu \frac{49}{400}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

\frac{7}{20} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$