10x=25-3x^2 lösen

$$10 x = 25 - 3 x ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$10x-25=-3x^{2}$$

Auf beiden Seiten 3x^{2} addieren.

$$10x-25+3x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$3x^{2}+10x-25=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-25 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=3\left(-25\right)=-75$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -75 ergeben.

$$-1,75 -3,25 -5,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+75=74 -3+25=22 -5+15=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-5 b=15$$

3x^{2}+10x-25 als \left(3x^{2}-5x\right)+\left(15x-25\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(15x-25\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-5\right)+5\left(3x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-5\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-5=0 und x+5=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$10x-25=-3x^{2}$$

Auf beiden Seiten 3x^{2} addieren.

$$10x-25+3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+10x-25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 10 und c durch -25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-25\right)}}{2\times 3}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-25\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-25\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -25.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+300}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 100 zu 300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-10±20}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-10±20}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±20}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 20.

$$x=\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±20}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von -10.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie -30 durch 6.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{3} x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Auf beiden Seiten 3x^{2} addieren.

$$10x+3x^{2}=25$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+10x=25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{25}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{25}{3}$$

Dividieren Sie \frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{25}{3}+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie \frac{25}{3} zu \frac{25}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{10}{3}$$

\frac{5}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5}{3} x=-5$$