10p^2+9p+2 lösen

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Faktorisieren

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10p^{2}+ap+bp+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 20 ergeben.

$$1,20 2,10 4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=4 b=5$$

10p^{2}+9p+2 als \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right) umschreiben.

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Klammern Sie 2p in 10p^{2}+4p aus.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5p+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

9 zum Quadrat.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 81 zu -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-9±1}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-9±1}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{5} und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{5p+2}{5} mit \frac{2p+1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Auswerten

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$