10k^2+9k-1=0 lösen

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Nach k auflösen

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 10k^{2}+ak+bk-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$-1,10 -2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 als \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) umschreiben.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Klammern Sie k in 10k^{2}-k aus.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 10k-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 10k-1=0 und k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch 9 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 zum Quadrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 81 zu 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-9±11}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$k=\frac{1}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-9±11}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Dividieren Sie -20 durch 20.

$$k=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Dividieren Sie \frac{9}{10}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{20} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{20} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{20}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu \frac{81}{400}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

\frac{9}{20} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$