10y^2+19y+6 lösen

$$10 { y }^{ 2 } +19y+6$$

Faktorisieren

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10y^{2}+ay+by+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 19 ergibt.

$$a=4 b=15$$

10y^{2}+19y+6 als \left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right) umschreiben.

$$\left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(5y+2\right)+3\left(5y+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5y+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10y^{2}+19y+6=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

19 zum Quadrat.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 361 zu -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$y=\frac{-19±11}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-19±11}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -19 zu 11.

$$y=-\frac{8}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-19±11}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -19.

$$y=-\frac{30}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{5} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\times \frac{2y+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{5y+2}{5} mit \frac{2y+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{5\times 2}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 2.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10y^{2}+19y+6=\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Auswerten

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$