10x^2-40x+1=0 lösen

$$10 { x }^{ 2 } -40x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{390}}{10}+2\approx 3,974841766$$

$$x=-\frac{\sqrt{390}}{10}+2\approx 0,025158234$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10x^{2}-40x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch -40 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 10}}{2\times 10}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 10}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-40}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 1600 zu -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1560}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1560.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±2\sqrt{390}}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±2\sqrt{390}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{40±2\sqrt{390}}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±2\sqrt{390}}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 2\sqrt{390}.

$$x=\frac{2\sqrt{390}+40}{20}$$

Dividieren Sie 40+2\sqrt{390} durch 20.

$$x=\frac{\sqrt{390}}{10}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±2\sqrt{390}}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{390} von 40.

$$x=\frac{40-2\sqrt{390}}{20}$$

Dividieren Sie 40-2\sqrt{390} durch 20.

$$x=-\frac{\sqrt{390}}{10}+2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{390}}{10}+2 x=-\frac{\sqrt{390}}{10}+2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10x^{2}-40x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$10x^{2}-40x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$10x^{2}-40x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}-40x}{10}=-\frac{1}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{10}\right)x=-\frac{1}{10}$$

Dividieren Sie -40 durch 10.

$$x^{2}-4x=-\frac{1}{10}$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{1}{10}+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{10}+4$$

Addieren Sie -\frac{1}{10} zu 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{39}{10}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{39}{10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{39}{10}}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\frac{\sqrt{390}}{10} x-2=-\frac{\sqrt{390}}{10}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{390}}{10}+2 x=-\frac{\sqrt{390}}{10}+2$$