10x^2-3x-1=0 lösen

$$10 { x }^{ 2 } -3x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 10x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -10 ergeben.

$$1,-10 2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-5 b=2$$

10x^{2}-3x-1 als \left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right) umschreiben.

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie 5x in 10x^{2}-5x aus.

$$5x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch -3 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 9 zu 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{3±7}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±7}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 7.

$$x=\frac{10}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±7}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 3.

$$x=-\frac{4}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$10x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$10x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$10x^{2}-3x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}-3x}{10}=\frac{1}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x=\frac{1}{10}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{10}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{20} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{20} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{20}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{1}{10}+\frac{9}{400}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu \frac{9}{400}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{49}{400}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{49}{400}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{400}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{20}=\frac{7}{20} x-\frac{3}{20}=-\frac{7}{20}$$

Addieren Sie \frac{3}{20} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$