10x^2+10x+8=3x^2-10x+11 lösen

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombinieren Sie 10x und 10x, um 20x zu erhalten.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 8, um -3 zu erhalten.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$-1,21 -3,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=-1 b=21$$

7x^{2}+20x-3 als \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 7x-1=0 und x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombinieren Sie 10x und 10x, um 20x zu erhalten.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 8, um -3 zu erhalten.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 20 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 400 zu 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±22}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±22}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Dividieren Sie -42 durch 14.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombinieren Sie 10x und 10x, um 20x zu erhalten.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Subtrahieren Sie 8 von 11, um 3 zu erhalten.

$$7x^{2}+20x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Dividieren Sie \frac{20}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{10}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{10}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{10}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Addieren Sie \frac{3}{7} zu \frac{100}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

\frac{10}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$