10^2+x^2=8^2-(12-x)^2 lösen

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Potenzieren Sie 10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 8 mit 2, und erhalten Sie 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

\left(12-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Um das Gegenteil von "144-24x+x^{2}" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 144 von 64, um -80 zu erhalten.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie -80 von beiden Seiten.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Das Gegenteil von -80 ist 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 24x von beiden Seiten.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Addieren Sie 100 und 80, um 180 zu erhalten.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -24 und c durch 180, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

-24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 576 zu -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Dividieren Sie 24+12i\sqrt{6} durch 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12i\sqrt{6} von 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Dividieren Sie 24-12i\sqrt{6} durch 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Potenzieren Sie 10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 8 mit 2, und erhalten Sie 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

\left(12-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Um das Gegenteil von "144-24x+x^{2}" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 144 von 64, um -80 zu erhalten.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 24x von beiden Seiten.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Subtrahieren Sie 100 von beiden Seiten.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Subtrahieren Sie 100 von -80, um -180 zu erhalten.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Dividieren Sie -24 durch 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Dividieren Sie -180 durch 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Addieren Sie -90 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Vereinfachen.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$