1+12x+36x^2 lösen

$$1 + 12 x + 36 x ^ { 2 }$$

Faktorisieren

$$\left(6x+1\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$36x^{2}+12x+1$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 36x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=36\times 1=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=6 b=6$$

36x^{2}+12x+1 als \left(36x^{2}+6x\right)+\left(6x+1\right) umschreiben.

$$\left(36x^{2}+6x\right)+\left(6x+1\right)$$

Klammern Sie 6x in 36x^{2}+6x aus.

$$6x\left(6x+1\right)+6x+1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x+1\right)\left(6x+1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(6x+1\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(36x^{2}+12x+1)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(36,12,1)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 36x^{2}.

$$\sqrt{36x^{2}}=6x$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(6x+1\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$36x^{2}+12x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 36}}{2\times 36}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 36}}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 36.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 36}$$

Addieren Sie 144 zu -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=\frac{-12±0}{2\times 36}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 36.

$$x=\frac{-12±0}{72}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{6} und für x_{2} -\frac{1}{6} ein.

$$36x^{2}+12x+1=36\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$36x^{2}+12x+1=36\left(x+\frac{1}{6}\right)\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}+12x+1=36\times \frac{6x+1}{6}\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}+12x+1=36\times \frac{6x+1}{6}\times \frac{6x+1}{6}$$

Multiplizieren Sie \frac{6x+1}{6} mit \frac{6x+1}{6}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$36x^{2}+12x+1=36\times \frac{\left(6x+1\right)\left(6x+1\right)}{6\times 6}$$

Multiplizieren Sie 6 mit 6.

$$36x^{2}+12x+1=36\times \frac{\left(6x+1\right)\left(6x+1\right)}{36}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 36 in 36 und 36 aufheben.

$$36x^{2}+12x+1=\left(6x+1\right)\left(6x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(6x+1\right)^{2}$$