0=-4x^2+4x+1 lösen

$$0=-4 { x }^{ 2 } +4x+1$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 16 zu 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Dividieren Sie -4+4\sqrt{2} durch -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{2} von -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Dividieren Sie -4-4\sqrt{2} durch -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-4x^{2}+4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+4x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie 4 durch -4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -1 durch -4.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$