0=5n^2+1205n-90300 lösen

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

Nach n auflösen

$$n=-301$$

$$n=60$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als n^{2}+an+bn-18060 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18060 ergeben.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 241 ergibt.

$$a=-60 b=301$$

n^{2}+241n-18060 als \left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right) umschreiben.

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

Klammern Sie n in der ersten und 301 in der zweiten Gruppe aus.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-60 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-60=0 und n+301=0.

$$n=60 n=-301$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 1205 und c durch -90300, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

1205 zum Quadrat.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -90300.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1452025 zu 1806000.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3258025.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1205±1805}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1205 zu 1805.

$$n=\frac{600}{10}$$

Dividieren Sie 600 durch 10.

$$n=60$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-1205±1805}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1805 von -1205.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

Dividieren Sie -3010 durch 10.

$$n=-301$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=60 n=-301$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Auf beiden Seiten 90300 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

Dividieren Sie 1205 durch 5.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

Dividieren Sie 90300 durch 5.

$$n^{2}+241n=18060$$

Dividieren Sie 241, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{241}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{241}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{241}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

Addieren Sie 18060 zu \frac{58081}{4}.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

Faktor n^{2}+241n+\frac{58081}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

\frac{241}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=60 n=-301$$