0=4x^2-x-3 lösen

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-4 b=3$$

4x^{2}-x-3 als \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -1 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1 zu 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±7}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±7}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Auf beiden Seiten 3 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$4x^{2}-x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$