0=3N_0^2-18N_{0}-3240 lösen

$$0 = 3 N _ { 0 } ^ { 2 } - 18 N _ { 0 } - 3240$$

Nach N_0 auflösen

$$N_{0}=-30$$

$$N_{0}=36$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$3N_{0}^{2}-18N_{0}-3240=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}-1080=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als N_{0}^{2}+aN_{0}+bN_{0}-1080 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\left(-1080\right)=-1080$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1080 ergeben.

$$1,-1080 2,-540 3,-360 4,-270 5,-216 6,-180 8,-135 9,-120 10,-108 12,-90 15,-72 18,-60 20,-54 24,-45 27,-40 30,-36$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-1080=-1079 2-540=-538 3-360=-357 4-270=-266 5-216=-211 6-180=-174 8-135=-127 9-120=-111 10-108=-98 12-90=-78 15-72=-57 18-60=-42 20-54=-34 24-45=-21 27-40=-13 30-36=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-36 b=30$$

N_{0}^{2}-6N_{0}-1080 als \left(N_{0}^{2}-36N_{0}\right)+\left(30N_{0}-1080\right) umschreiben.

$$\left(N_{0}^{2}-36N_{0}\right)+\left(30N_{0}-1080\right)$$

Klammern Sie N_{0} in der ersten und 30 in der zweiten Gruppe aus.

$$N_{0}\left(N_{0}-36\right)+30\left(N_{0}-36\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term N_{0}-36 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(N_{0}-36\right)\left(N_{0}+30\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie N_{0}-36=0 und N_{0}+30=0.

$$N_{0}=36 N_{0}=-30$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$3N_{0}^{2}-18N_{0}-3240=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -18 und c durch -3240, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 3\left(-3240\right)}}{2\times 3}$$

-18 zum Quadrat.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 3\left(-3240\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-12\left(-3240\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -3240.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+38880}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 324 zu 38880.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{39204}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 39204.

$$N_{0}=\frac{-\left(-18\right)±198}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$N_{0}=\frac{18±198}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$N_{0}=\frac{18±198}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung N_{0}=\frac{18±198}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 198.

$$N_{0}=\frac{216}{6}$$

Dividieren Sie 216 durch 6.

$$N_{0}=36$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung N_{0}=\frac{18±198}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 198 von 18.

$$N_{0}=-\frac{180}{6}$$

Dividieren Sie -180 durch 6.

$$N_{0}=-30$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$N_{0}=36 N_{0}=-30$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$3N_{0}^{2}-18N_{0}-3240=0$$

Auf beiden Seiten 3240 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$3N_{0}^{2}-18N_{0}=3240$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3N_{0}^{2}-18N_{0}}{3}=\frac{3240}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$N_{0}^{2}+\left(-\frac{18}{3}\right)N_{0}=\frac{3240}{3}$$

Dividieren Sie -18 durch 3.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}=\frac{3240}{3}$$

Dividieren Sie 3240 durch 3.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}=1080$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}+\left(-3\right)^{2}=1080+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}+9=1080+9$$

Addieren Sie 1080 zu 9.

$$N_{0}^{2}-6N_{0}+9=1089$$

Faktor N_{0}^{2}-6N_{0}+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(N_{0}-3\right)^{2}=1089$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(N_{0}-3\right)^{2}}=\sqrt{1089}$$

Vereinfachen.

$$N_{0}-3=33 N_{0}-3=-33$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$N_{0}=36 N_{0}=-30$$