0=(2y-1)(8-y) lösen

$$0 = ( 2 y - 1 ) ( 8 - y )$$

Nach y auflösen

$$y=8$$

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2y-1 mit 8-y zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2y^{2}+ay+by-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=-2\left(-8\right)=16$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.

$$1,16 2,8 4,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=16 b=1$$

-2y^{2}+17y-8 als \left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right) umschreiben.

$$\left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(-y+8\right)-\left(-y+8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -y+8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-y+8\right)\left(2y-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -y+8=0 und 2y-1=0.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2y-1 mit 8-y zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 17 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

17 zum Quadrat.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -8.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-64}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 289 zu -64.

$$y=\frac{-17±\sqrt{225}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$y=\frac{-17±15}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$y=\frac{-17±15}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-17±15}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 15.

$$y=-\frac{2}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-17±15}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von -17.

$$y=-\frac{32}{-4}$$

Dividieren Sie -32 durch -4.

$$y=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{1}{2} y=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2y-1 mit 8-y zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Auf beiden Seiten 8 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$17y-2y^{2}=8$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2y^{2}+17y=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2y^{2}+17y}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{17}{-2}y=\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie 17 durch -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie 8 durch -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=-4$$

Dividieren Sie -\frac{17}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=-4+\frac{289}{16}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{289}{16}.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=\frac{225}{16}$$

Faktor y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{17}{4}=\frac{15}{4} y-\frac{17}{4}=-\frac{15}{4}$$

Addieren Sie \frac{17}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$