Nach x auflösen
x=\frac{1}{8}=0,125
x=\frac{1}{2}=0,5
Diagramm
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-16x^{2}+10x-1=0
Dividieren Sie beide Seiten durch 5.
a+b=10 ab=-16\left(-1\right)=16
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -16x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
1,16 2,8 4,4
Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.
1+16=17 2+8=10 4+4=8
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=8 b=2
Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.
\left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right)
-16x^{2}+10x-1 als \left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right) umschreiben.
-8x\left(2x-1\right)+2x-1
Klammern Sie -8x in -16x^{2}+8x aus.
\left(2x-1\right)\left(-8x+1\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und -8x+1=0.
-80x^{2}+50x-5=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -80, b durch 50 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}
50 zum Quadrat.
x=\frac{-50±\sqrt{2500+320\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}
Multiplizieren Sie -4 mit -80.
x=\frac{-50±\sqrt{2500-1600}}{2\left(-80\right)}
Multiplizieren Sie 320 mit -5.
x=\frac{-50±\sqrt{900}}{2\left(-80\right)}
Addieren Sie 2500 zu -1600.
x=\frac{-50±30}{2\left(-80\right)}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 900.
x=\frac{-50±30}{-160}
Multiplizieren Sie 2 mit -80.
x=-\frac{20}{-160}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±30}{-160}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -50 zu 30.
x=\frac{1}{8}
Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{-160} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.
x=-\frac{80}{-160}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±30}{-160}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30 von -50.
x=\frac{1}{2}
Verringern Sie den Bruch \frac{-80}{-160} um den niedrigsten Term, indem Sie 80 extrahieren und aufheben.
x=\frac{1}{8} x=\frac{1}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
-80x^{2}+50x-5=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
-80x^{2}+50x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)
Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.
-80x^{2}+50x=-\left(-5\right)
Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.
-80x^{2}+50x=5
Subtrahieren Sie -5 von 0.
\frac{-80x^{2}+50x}{-80}=\frac{5}{-80}
Dividieren Sie beide Seiten durch -80.
x^{2}+\frac{50}{-80}x=\frac{5}{-80}
Division durch -80 macht die Multiplikation mit -80 rückgängig.
x^{2}-\frac{5}{8}x=\frac{5}{-80}
Verringern Sie den Bruch \frac{50}{-80} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.
x^{2}-\frac{5}{8}x=-\frac{1}{16}
Verringern Sie den Bruch \frac{5}{-80} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.
x^{2}-\frac{5}{8}x+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{5}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{256}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{256}
Addieren Sie -\frac{1}{16} zu \frac{25}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}
Faktor x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{256}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{5}{16}=\frac{3}{16} x-\frac{5}{16}=-\frac{3}{16}
Vereinfachen.
x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}
Addieren Sie \frac{5}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}