-80x^2+50x-5=0 lösen

$$-80 { x }^{ 2 } +50x-5=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$-16x^{2}+10x-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -16x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=-16\left(-1\right)=16$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.

$$1,16 2,8 4,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=8 b=2$$

-16x^{2}+10x-1 als \left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right) umschreiben.

$$\left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie -8x in -16x^{2}+8x aus.

$$-8x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(-8x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und -8x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -80, b durch 50 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

50 zum Quadrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -80.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+320\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Multiplizieren Sie 320 mit -5.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-1600}}{2\left(-80\right)}$$

Addieren Sie 2500 zu -1600.

$$x=\frac{-50±\sqrt{900}}{2\left(-80\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 900.

$$x=\frac{-50±30}{2\left(-80\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -80.

$$x=\frac{-50±30}{-160}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±30}{-160}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -50 zu 30.

$$x=-\frac{20}{-160}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{-160} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-50±30}{-160}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30 von -50.

$$x=-\frac{80}{-160}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-80}{-160} um den niedrigsten Term, indem Sie 80 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{8} x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-80x^{2}+50x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$-80x^{2}+50x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$-80x^{2}+50x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -80.

$$\frac{-80x^{2}+50x}{-80}=\frac{5}{-80}$$

Division durch -80 macht die Multiplikation mit -80 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{50}{-80}x=\frac{5}{-80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{50}{-80} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=\frac{5}{-80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{5}{-80} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=-\frac{1}{16}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{16} zu \frac{25}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{16}=\frac{3}{16} x-\frac{5}{16}=-\frac{3}{16}$$

Addieren Sie \frac{5}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$