-5x^2+3x+4=0 lösen

$$-5 { x }^{ 2 } +3x+4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{89} + 3}{10} \approx 1,243398113$$

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}\approx -0,643398113$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -5, b durch 3 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 20 mit 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+80}}{2\left(-5\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{-10}$$

Dividieren Sie -3+\sqrt{89} durch -10.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{89} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-3}{-10}$$

Dividieren Sie -3-\sqrt{89} durch -10.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10} x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-5x^{2}+3x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$-5x^{2}+3x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=-\frac{4}{-5}$$

Division durch -5 macht die Multiplikation mit -5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dividieren Sie 3 durch -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{4}{-5}$$

Dividieren Sie -4 durch -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{4}{5}+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{89}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Addieren Sie \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10} x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$