-4x^2+20x-47=0 lösen

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 20 und c durch -47, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 400 zu -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Dividieren Sie -20+4i\sqrt{22} durch -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{22} von -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Dividieren Sie -20-4i\sqrt{22} durch -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Addieren Sie 47 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Die Subtraktion von -47 von sich selbst ergibt 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Subtrahieren Sie -47 von 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Dividieren Sie 20 durch -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Dividieren Sie 47 durch -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Addieren Sie -\frac{47}{4} zu \frac{25}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$