-4x^2+20x-25 lösen

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-25$$

Faktorisieren

$$-\left(2x-5\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -4x^{2}+ax+bx-25 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=-4\left(-25\right)=100$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 100 ergeben.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=10 b=10$$

-4x^{2}+20x-25 als \left(-4x^{2}+10x\right)+\left(10x-25\right) umschreiben.

$$\left(-4x^{2}+10x\right)+\left(10x-25\right)$$

Klammern Sie -2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$-2x\left(2x-5\right)+5\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(-2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-4x^{2}+20x-25=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-25\right)}}{2\left(-4\right)}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-25\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-25\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -25.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 400 zu -400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=\frac{-20±0}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-20±0}{-8}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} \frac{5}{2} ein.

$$-4x^{2}+20x-25=-4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+20x-25=-4\times \frac{-2x+5}{-2}\left(x-\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+20x-25=-4\times \frac{-2x+5}{-2}\times \frac{-2x+5}{-2}$$

Multiplizieren Sie \frac{-2x+5}{-2} mit \frac{-2x+5}{-2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-4x^{2}+20x-25=-4\times \frac{\left(-2x+5\right)\left(-2x+5\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -2 mit -2.

$$-4x^{2}+20x-25=-4\times \frac{\left(-2x+5\right)\left(-2x+5\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in -4 und 4 aufheben.

$$-4x^{2}+20x-25=-\left(-2x+5\right)\left(-2x+5\right)$$

Auswerten

$$-\left(2x-5\right)^{2}$$