-4a^2-3a+1=0 lösen

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

Nach a auflösen

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -4a^{2}+aa+ba+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$1,-4 2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=1 b=-4$$

-4a^{2}-3a+1 als \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right) umschreiben.

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

Klammern Sie -a in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4a-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4a-1=0 und -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch -3 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-3 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{3±5}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

Dividieren Sie 8 durch -8.

$$a=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{3±5}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -3 durch -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -1 durch -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie \frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Vereinfachen.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

\frac{3}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$