-3x^2-8x+16=0 lösen

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=4 b=-12$$

-3x^{2}-8x+16 als \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-4=0 und -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -8 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 64 zu 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±16}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Dividieren Sie 24 durch -6.

$$x=-4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±16}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Dividieren Sie -8 durch -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Dividieren Sie -16 durch -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividieren Sie \frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie \frac{16}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

\frac{4}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$