-3x^2+4x+15=0 lösen

$$-3 { x }^{ 2 } +4x+15=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -45 ergeben.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=9 b=-5$$

-3x^{2}+4x+15 als \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+3=0 und 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 4 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 16 zu 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±14}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±14}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dividieren Sie -18 durch -6.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Dividieren Sie 4 durch -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Dividieren Sie -15 durch -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$