-2x^2+20x=48 lösen

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 48 von beiden Seiten.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=6 b=4$$

-x^{2}+10x-24 als \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+20x=48$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 20 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 400 zu -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Dividieren Sie -16 durch -4.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±4}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Dividieren Sie -24 durch -4.

$$x=6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Dividieren Sie 20 durch -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Dividieren Sie 48 durch -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Addieren Sie -24 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=4$$