-16y^2+148y-252 lösen

$$-16 { y }^{ 2 } +148y-252$$

Faktorisieren

$$4\left(7-y\right)\left(4y-9\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(-4y^{2}+37y-63\right)$$

Betrachten Sie -4y^{2}+37y-63. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -4y^{2}+ay+by-63 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=37 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 252 ergeben.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 37 ergibt.

$$a=28 b=9$$

-4y^{2}+37y-63 als \left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right) umschreiben.

$$\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right)$$

Klammern Sie 4y in der ersten und -9 in der zweiten Gruppe aus.

$$4y\left(-y+7\right)-9\left(-y+7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -y+7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-16y^{2}+148y-252=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-148±\sqrt{148^{2}-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

148 zum Quadrat.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904+64\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit -252.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-16128}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 21904 zu -16128.

$$y=\frac{-148±\sqrt{5776}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 5776.

$$y=\frac{-148±76}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$y=\frac{-148±76}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-148±76}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -148 zu 76.

$$y=-\frac{72}{-32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-72}{-32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-148±76}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 76 von -148.

$$y=-\frac{224}{-32}$$

Dividieren Sie -224 durch -32.

$$y=7$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{9}{4} und für x_{2} 7 ein.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\left(y-\frac{9}{4}\right)\left(y-7\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{9}{4} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\times \frac{-4y+9}{-4}\left(y-7\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in -16 und 4 aufheben.

$$-16y^{2}+148y-252=4\left(-4y+9\right)\left(y-7\right)$$

Auswerten

$$-16y^{2}+148y-252$$