-16x^2-4x+382=0 lösen

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -16, b durch -4 und c durch 382, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit 382.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 16 zu 24448.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 24464.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 4\sqrt{1529}.

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

Dividieren Sie 4+4\sqrt{1529} durch -32.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{1529} von 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

Dividieren Sie 4-4\sqrt{1529} durch -32.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

382 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

Die Subtraktion von 382 von sich selbst ergibt 0.

$$-16x^{2}-4x=-382$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -16.

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

Division durch -16 macht die Multiplikation mit -16 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-382}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

Dividieren Sie \frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{191}{8} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

\frac{1}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$