-144x^2+9x-9=0 lösen

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -144, b durch 9 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Multiplizieren Sie 576 mit -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Addieren Sie 81 zu -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Dividieren Sie -9+27i\sqrt{7} durch -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27i\sqrt{7} von -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Dividieren Sie -9-27i\sqrt{7} durch -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Division durch -144 macht die Multiplikation mit -144 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{9}{-144} um den niedrigsten Term, indem Sie 9 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{9}{-144} um den niedrigsten Term, indem Sie 9 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{16}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{32} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{32} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{32}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Addieren Sie -\frac{1}{16} zu \frac{1}{1024}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Addieren Sie \frac{1}{32} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$