-1000x^2+17000x+30000=0 lösen

$$-1000 { x }^{ 2 } +17000x+30000=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{409} + 17}{2} \approx 18,611874208$$

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}\approx -1,611874208$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-1000x^{2}+17000x+30000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1000, b durch 17000 und c durch 30000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{17000^{2}-4\left(-1000\right)\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

17000 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000-4\left(-1000\right)\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000+4000\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

Multiplizieren Sie 4000 mit 30000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000+120000000}}{2\left(-1000\right)}$$

Addieren Sie 289000000 zu 120000000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{409000000}}{2\left(-1000\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 409000000.

$$x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{2\left(-1000\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1000.

$$x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17000 zu 1000\sqrt{409}.

$$x=\frac{1000\sqrt{409}-17000}{-2000}$$

Dividieren Sie -17000+1000\sqrt{409} durch -2000.

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1000\sqrt{409} von -17000.

$$x=\frac{-1000\sqrt{409}-17000}{-2000}$$

Dividieren Sie -17000-1000\sqrt{409} durch -2000.

$$x=\frac{\sqrt{409}+17}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2} x=\frac{\sqrt{409}+17}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-1000x^{2}+17000x+30000=0$$

30000 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-1000x^{2}+17000x+30000-30000=-30000$$

Die Subtraktion von 30000 von sich selbst ergibt 0.

$$-1000x^{2}+17000x=-30000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1000.

$$\frac{-1000x^{2}+17000x}{-1000}=-\frac{30000}{-1000}$$

Division durch -1000 macht die Multiplikation mit -1000 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{17000}{-1000}x=-\frac{30000}{-1000}$$

Dividieren Sie 17000 durch -1000.

$$x^{2}-17x=-\frac{30000}{-1000}$$

Dividieren Sie -30000 durch -1000.

$$x^{2}-17x=30$$

Dividieren Sie -17, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=30+\frac{289}{4}$$

Addieren Sie 30 zu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{409}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{409}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}$$