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$-\exponential{x}{2} - x - 1 = 0 $
Nach x auflösen (komplexe Lösung)
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-x^{2}-x-1=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -1 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}
Multiplizieren Sie -4 mit -1.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}
Multiplizieren Sie 4 mit -1.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}
Addieren Sie 1 zu -4.
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -3.
x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}
Das Gegenteil von -1 ist 1.
x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}
Multiplizieren Sie 2 mit -1.
x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu i\sqrt{3}.
x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}
Dividieren Sie 1+i\sqrt{3} durch -2.
x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{3} von 1.
x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
Dividieren Sie 1-i\sqrt{3} durch -2.
x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
-x^{2}-x-1=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)
Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.
-x^{2}-x=-\left(-1\right)
Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.
-x^{2}-x=1
Subtrahieren Sie -1 von 0.
\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}
Dividieren Sie beide Seiten durch -1.
x^{2}+\frac{-1}{-1}x=\frac{1}{-1}
Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.
x^{2}+x=\frac{1}{-1}
Dividieren Sie -1 durch -1.
x^{2}+x=-1
Dividieren Sie 1 durch -1.
x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}
Addieren Sie -1 zu \frac{1}{4}.
\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}
Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}
Vereinfachen.
x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}
\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.