-x^2-10x-21=0 lösen

$$- x ^ { 2 } - 10 x - 21 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=-\left(-21\right)=21$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 21 ergeben.

$$-1,-21 -3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-3 b=-7$$

-x^{2}-10x-21 als \left(-x^{2}-3x\right)+\left(-7x-21\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}-3x\right)+\left(-7x-21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(-x-3\right)+7\left(-x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x-3\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x-3=0 und x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-10x-21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -10 und c durch -21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+4\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -21.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-84}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 100 zu -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±4}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{10±4}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±4}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 4.

$$x=\frac{14}{-2}$$

Dividieren Sie 14 durch -2.

$$x=-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±4}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividieren Sie 6 durch -2.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-7 x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}-10x-21=0$$

Addieren Sie 21 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-x^{2}-10x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Die Subtraktion von -21 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}-10x=-\left(-21\right)$$

Subtrahieren Sie -21 von 0.

$$-x^{2}-10x=21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}-10x}{-1}=\frac{21}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-1}\right)x=\frac{21}{-1}$$

Dividieren Sie -10 durch -1.

$$x^{2}+10x=\frac{21}{-1}$$

Dividieren Sie 21 durch -1.

$$x^{2}+10x=-21$$

Dividieren Sie 10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-21+5^{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x^{2}+10x+25=-21+25$$

Addieren Sie -21 zu 25.

$$x^{2}+10x+25=4$$

Faktor x^{2}+10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+5\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x+5=2 x+5=-2$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-3 x=-7$$