-x^2+8x+47=0 lösen

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 8 und c durch 47, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 64 zu 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Dividieren Sie -8+6\sqrt{7} durch -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{7} von -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Dividieren Sie -8-6\sqrt{7} durch -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

47 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Die Subtraktion von 47 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Dividieren Sie 8 durch -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Dividieren Sie -47 durch -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Addieren Sie 47 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Vereinfachen.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$