-x^2+2x+15=0 lösen

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=5 b=-3$$

-x^{2}+2x+15 als \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 2 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividieren Sie 6 durch -2.

$$x=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dividieren Sie -10 durch -2.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-3 x=5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Dividieren Sie 2 durch -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Dividieren Sie -15 durch -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Addieren Sie 15 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=-3$$