-9x^2+18x+68=0 lösen

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch 18 und c durch 68, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 36 mit 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Addieren Sie 324 zu 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -18 zu 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Dividieren Sie -18+6\sqrt{77} durch -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6\sqrt{77} von -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Dividieren Sie -18-6\sqrt{77} durch -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

68 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Die Subtraktion von 68 von sich selbst ergibt 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Division durch -9 macht die Multiplikation mit -9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Dividieren Sie 18 durch -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Dividieren Sie -68 durch -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Addieren Sie \frac{68}{9} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$