-9x^2+12x-3=0 lösen

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=3 b=1$$

-3x^{2}+4x-1 als \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+1=0 und 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch 12 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 36 mit -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Addieren Sie 144 zu -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6}{-18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{-18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±6}{-18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Dividieren Sie -18 durch -18.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Division durch -9 macht die Multiplikation mit -9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{-9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{-9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$