-9x=2(3x^2+4)+10x lösen

$$- 9 x = 2 ( 3 x ^ { 2 } + 4 ) + 10 x$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}+4 zu multiplizieren.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}-8=10x$$

Subtrahieren Sie 10x von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}-8-10x=0$$

Kombinieren Sie -9x und -10x, um -19x zu erhalten.

$$-19x-6x^{2}-8=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-6x^{2}-19x-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -6x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-19 ab=-6\left(-8\right)=48$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 48 ergeben.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -19 ergibt.

$$a=-3 b=-16$$

-6x^{2}-19x-8 als \left(-6x^{2}-3x\right)+\left(-16x-8\right) umschreiben.

$$\left(-6x^{2}-3x\right)+\left(-16x-8\right)$$

Klammern Sie -3x in der ersten und -8 in der zweiten Gruppe aus.

$$-3x\left(2x+1\right)-8\left(2x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+1\right)\left(-3x-8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x+1=0 und -3x-8=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}+4 zu multiplizieren.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}-8=10x$$

Subtrahieren Sie 10x von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}-8-10x=0$$

Kombinieren Sie -9x und -10x, um -19x zu erhalten.

$$-19x-6x^{2}-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-6x^{2}-19x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -6, b durch -19 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

-19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+24\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 24 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\left(-6\right)}$$

Addieren Sie 361 zu -192.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\left(-6\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\left(-6\right)}$$

Das Gegenteil von -19 ist 19.

$$x=\frac{19±13}{2\left(-6\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -6.

$$x=\frac{19±13}{-12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±13}{-12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 19 zu 13.

$$x=\frac{32}{-12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{-12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±13}{-12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 19.

$$x=\frac{6}{-12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{-12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{8}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}+4 zu multiplizieren.

$$-9x=6x^{2}+8+10x$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}=8+10x$$

Subtrahieren Sie 10x von beiden Seiten.

$$-9x-6x^{2}-10x=8$$

Kombinieren Sie -9x und -10x, um -19x zu erhalten.

$$-19x-6x^{2}=8$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-6x^{2}-19x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -6.

$$\frac{-6x^{2}-19x}{-6}=\frac{8}{-6}$$

Division durch -6 macht die Multiplikation mit -6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{19}{-6}\right)x=\frac{8}{-6}$$

Dividieren Sie -19 durch -6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{8}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=-\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie \frac{19}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{19}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{19}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{19}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=-\frac{4}{3}+\frac{361}{144}$$

Addieren Sie -\frac{4}{3} zu \frac{361}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{19}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{8}{3}$$