-8r^2+26r-15 lösen

$$- 8 r ^ { 2 } + 26 r - 15$$

Faktorisieren

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -8r^{2}+ar+br-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=26 ab=-8\left(-15\right)=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 26 ergibt.

$$a=20 b=6$$

-8r^{2}+26r-15 als \left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right) umschreiben.

$$\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right)$$

Klammern Sie -4r in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-4r\left(2r-5\right)+3\left(2r-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2r-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2r-5\right)\left(-4r+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-8r^{2}+26r-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

26 zum Quadrat.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -8.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 32 mit -15.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\left(-8\right)}$$

Addieren Sie 676 zu -480.

$$r=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\left(-8\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$r=\frac{-26±14}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -8.

$$r=\frac{-26±14}{-16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-26±14}{-16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -26 zu 14.

$$r=-\frac{12}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-26±14}{-16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -26.

$$r=-\frac{40}{-16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{-16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} \frac{5}{2} ein.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\left(r-\frac{3}{4}\right)\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\times \frac{-2r+5}{-2}$$

Multiplizieren Sie \frac{-4r+3}{-4} mit \frac{-2r+5}{-2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in -8 und 8 aufheben.

$$-8r^{2}+26r-15=-\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)$$

Auswerten

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$