-5x^2+9x=-3 lösen

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -5, b durch 9 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 20 mit 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Addieren Sie 81 zu 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Dividieren Sie -9+\sqrt{141} durch -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{141} von -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Dividieren Sie -9-\sqrt{141} durch -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Division durch -5 macht die Multiplikation mit -5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Dividieren Sie 9 durch -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Dividieren Sie -3 durch -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu \frac{81}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Addieren Sie \frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$