-4x^2-12x+720=0 lösen

$$- 4 x ^ { 2 } - 12 x + 720 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$-x^{2}-3x+180=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+180 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=-180=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=12 b=-15$$

-x^{2}-3x+180 als \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-15x+180\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-15x+180\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(-x+12\right)+15\left(-x+12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+12\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+12=0 und x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}-12x+720=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch -12 und c durch 720, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-4\right)\times 720}}{2\left(-4\right)}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 720}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+16\times 720}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit 720.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+11520}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 144 zu 11520.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{11664}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 11664.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±108}{2\left(-4\right)}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±108}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{12±108}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±108}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 108.

$$x=\frac{120}{-8}$$

Dividieren Sie 120 durch -8.

$$x=-15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±108}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 108 von 12.

$$x=-\frac{96}{-8}$$

Dividieren Sie -96 durch -8.

$$x=12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-15 x=12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}-12x+720=0$$

720 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4x^{2}-12x+720-720=-720$$

Die Subtraktion von 720 von sich selbst ergibt 0.

$$-4x^{2}-12x=-720$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}-12x}{-4}=-\frac{720}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{-4}\right)x=-\frac{720}{-4}$$

Dividieren Sie -12 durch -4.

$$x^{2}+3x=-\frac{720}{-4}$$

Dividieren Sie -720 durch -4.

$$x^{2}+3x=180$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 180 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=12 x=-15$$