-4x^2+12x=7 lösen

$$- 4 x ^ { 2 } + 12 x = 7$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{2} + 3}{2} \approx 2,207106781$$

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}\approx 0,792893219$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+12x=7$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4x^{2}+12x-7=7-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$-4x^{2}+12x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 12 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-112}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 144 zu -112.

$$x=\frac{-12±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 32.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-12}{-8}$$

Dividieren Sie -12+4\sqrt{2} durch -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{2} von -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-12}{-8}$$

Dividieren Sie -12-4\sqrt{2} durch -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+12x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=\frac{7}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=\frac{7}{-4}$$

Dividieren Sie 12 durch -4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-4}$$

Dividieren Sie 7 durch -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{7}{4}$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-7+9}{4}$$

Addieren Sie -\frac{7}{4} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$