-4b^2+22b-4=0 lösen

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Nach b auflösen

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 22 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

22 zum Quadrat.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 484 zu -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -22 zu 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dividieren Sie -22+2\sqrt{105} durch -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{105} von -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dividieren Sie -22-2\sqrt{105} durch -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{22}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Dividieren Sie 4 durch -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Dividieren Sie -\frac{11}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Faktor b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Vereinfachen.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Addieren Sie \frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$