-4a^2-5a+1=0 lösen

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

Nach a auflösen

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0,17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1,42539053$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch -5 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-5 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 25 zu 16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

Dividieren Sie 5+\sqrt{41} durch -8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{41} von 5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

Dividieren Sie 5-\sqrt{41} durch -8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -5 durch -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -1 durch -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie \frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Vereinfachen.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

\frac{5}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$