-3x^2+51x-156=0 lösen

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x=13$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-52 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 52 ergeben.

$$1,52 2,26 4,13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=13 b=4$$

-x^{2}+17x-52 als \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-13=0 und -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 51 und c durch -156, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

51 zum Quadrat.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 2601 zu -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-51±27}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -51 zu 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Dividieren Sie -24 durch -6.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-51±27}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Dividieren Sie -78 durch -6.

$$x=13$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=13$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Addieren Sie 156 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Die Subtraktion von -156 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Subtrahieren Sie -156 von 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Dividieren Sie 51 durch -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Dividieren Sie 156 durch -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Dividieren Sie -17, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Addieren Sie -52 zu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=13 x=4$$