-3x^2+5x-4=0 lösen

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 5 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 25 zu -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Dividieren Sie -5+i\sqrt{23} durch -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{23} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Dividieren Sie -5-i\sqrt{23} durch -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie 5 durch -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie 4 durch -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -\frac{4}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$