-3x^2+5x-1=0 lösen

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1,434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0,232408121$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 5 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 25 zu -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

Dividieren Sie -5+\sqrt{13} durch -6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{13} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

Dividieren Sie -5-\sqrt{13} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Dividieren Sie 5 durch -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Dividieren Sie 1 durch -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$