-3x^2+32x-160=0 lösen

$$- 3 x ^ { 2 } + 32 x - 160 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i+16}{3}\approx 5,333333333-4,988876516i$$

$$x=\frac{16+4\sqrt{14}i}{3}\approx 5,333333333+4,988876516i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+32x-160=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 32 und c durch -160, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-3\right)\left(-160\right)}}{2\left(-3\right)}$$

32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-3\right)\left(-160\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+12\left(-160\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -160.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-1920}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 1024 zu -1920.

$$x=\frac{-32±\sqrt{-896}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -896.

$$x=\frac{-32±8\sqrt{14}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-32±8\sqrt{14}i}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±8\sqrt{14}i}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -32 zu 8i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-32+8\sqrt{14}i}{-6}$$

Dividieren Sie -32+8i\sqrt{14} durch -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i+16}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±8\sqrt{14}i}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{14} von -32.

$$x=\frac{-8\sqrt{14}i-32}{-6}$$

Dividieren Sie -32-8i\sqrt{14} durch -6.

$$x=\frac{16+4\sqrt{14}i}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i+16}{3} x=\frac{16+4\sqrt{14}i}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+32x-160=0$$

Addieren Sie 160 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-3x^{2}+32x-160-\left(-160\right)=-\left(-160\right)$$

Die Subtraktion von -160 von sich selbst ergibt 0.

$$-3x^{2}+32x=-\left(-160\right)$$

Subtrahieren Sie -160 von 0.

$$-3x^{2}+32x=160$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+32x}{-3}=\frac{160}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{32}{-3}x=\frac{160}{-3}$$

Dividieren Sie 32 durch -3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=\frac{160}{-3}$$

Dividieren Sie 160 durch -3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{32}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-\frac{160}{3}+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-\frac{160}{3}+\frac{256}{9}$$

Addieren Sie -\frac{160}{3} zu \frac{256}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-\frac{224}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=-\frac{224}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{224}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{4\sqrt{14}i}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{4\sqrt{14}i}{3}$$

Addieren Sie \frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{16+4\sqrt{14}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{14}i+16}{3}$$