-3k^2+6k+1geq0 lösen

$$- 3 k ^ { 2 } + 6 k + 1 \geq 0$$

Für k lösen

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie die Ungleichung mit -1, um den Koeffizienten mit der höchsten Potenz in -3k^{2}+6k+1 positiv zu machen. Da -1 negativ ist, wird die Richtung der Ungleichung geändert.

$$3k^{2}-6k-1\leq 0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3k^{2}-6k-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -6 und c durch -1.

$$k=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Berechnungen ausführen.

$$k=\frac{6±4\sqrt{3}}{6}$$

Lösen Sie die Gleichung k=\frac{6±4\sqrt{3}}{6}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$k=\frac{2\sqrt{3}}{3}+1 k=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$3\left(k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\right)\left(k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\right)\leq 0$$

Damit das Produkt ≤0 wird, muss einer der Werte k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right) und k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right) ≥0 sein, und die andere muss ≤0 sein. Betrachten Sie den Fall, wenn k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 und k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0.

$$k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0$$

Dies ist falsch für alle k.

$$k\in \emptyset$$

Betrachten Sie den Fall, wenn k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0 und k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0.

$$k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet k\in \left[-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right].

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$