-3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1 lösen

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -3 mit 2x-1 zu multiplizieren.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Betrachten Sie \left(x+1\right)\left(x-1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtrahieren Sie 1 von 3, um 2 zu erhalten.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -5 mit x+2 zu multiplizieren.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Kombinieren Sie -6x und -5x, um -11x zu erhalten.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtrahieren Sie 10 von 2, um -8 zu erhalten.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von -8, um -9 zu erhalten.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -11 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{157} von 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -3 mit 2x-1 zu multiplizieren.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Betrachten Sie \left(x+1\right)\left(x-1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Subtrahieren Sie 1 von 3, um 2 zu erhalten.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -5 mit x+2 zu multiplizieren.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Kombinieren Sie -6x und -5x, um -11x zu erhalten.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Subtrahieren Sie 10 von 2, um -8 zu erhalten.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Auf beiden Seiten 8 addieren.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Addieren Sie 1 und 8, um 9 zu erhalten.

$$-11x+x^{2}=9$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-11x=9$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie 9 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$