-2x^2+13x+24=0 lösen

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx+24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=16 b=-3$$

-2x^{2}+13x+24 als \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+8=0 und 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 13 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 169 zu 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±19}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±19}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Dividieren Sie -32 durch -4.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

24 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Die Subtraktion von 24 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie 13 durch -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie -24 durch -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Dividieren Sie -\frac{13}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Addieren Sie 12 zu \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Addieren Sie \frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$